Question

11．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润=销售总收入-经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求得y与x的函数解析式，把x=5代入即可；
（2）根据“毛利润=销售总收入-经营总成本”计算即可求得结论；
（3）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入-经营总成本=w_A+w_B-3×20；
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量．

解答 解：（1）设x，y的解析式为y=kx+b，
把x=2时，y=12，x=8时，y=6得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=12}\\{8k+b=6}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=14}\end{array}\right.$，
∴y=-x+14（2≤x≤8），
∴x=5时，y=9，
答：A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨9万元；

（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则B类杨梅有6吨，
易得：W_A=（10-3-1）×4=24（万元），
W_A=6×（9-3）-（12+3×6）=6（万元），
∴W=24+6=30（万元），
答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；

（3）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20-x）吨，
①当2≤x＜8时，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x，
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x，
∴w=w_A+w_B-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
当x≥8时，
w_A=6x-x=5x，
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48，
∴w关于x的函数关系式为：
w=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+7x+48（2≤x＜8）}\\{-x+48（x≥8）}\end{array}\right.$，
②当2≤x＜8时，-x²+7x+48=30，解得x₁=9，x₂=-2，均不合题意，
当x≥8时，-x+48=30，解得x=18，
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．

点评 本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．