Question

如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）当CD=15时，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据切线的判定定理，连接OD，只需证明OD⊥CD，根据三角形的外角的性质得∠A=30°，再根据等边对等角得∠ADO=∠A，从而证明结论；
（2）在30°的直角三角形OCD中，求得OD，OC的长，则BC=OC-OB．

解答：证明：（1）连接OD．
∵∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠A=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=15，
∵tanC=

OD

CD

，
∴OD=CD•tanC=15×

3

3

=5

3

，
∴OC=2OD=10

3

，
∵OB=OD=5

3

，
∴BC=OC-OB=10

3

-5

3

=5

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．