Question

15．抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，（点M在点N左侧），若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

分析 （1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）如图，连接AC并延长交对称轴于P，则点P即为P到B、C两点距离之差最大的点，根据已知条件得到直线AC的解析式为：y=-3x-3，由P在对称轴上，于是得到结论；
（3）设M（x₁，y），N（x₂，y），圆的半径为r，根据题意得到x₂-x₁=2r，①根据对称轴为x=1，得到x₁+x₂=2，②联立方程组得到x₂=r+1，将N（r+1，y）代入y=x²-2x-3得到y=r²-4，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为x=1，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；
（2）存在，如图，连接AC并延长交对称轴于P，
则点P即为P到B、C两点距离之差最大的点，
∵抛物线的对称轴为x=1，点B的坐标为（3，0），
∴A（-1，0），
∵点C的坐标为（0，-3），
∴直线AC的解析式为：y=-3x-3，
∵P在对称轴上，
∴P（1．-6）；
（3）设M（x₁，y），N（x₂，y），圆的半径为：r，则x₂-x₁=2r，①
∵对称轴为x=1，
∴x₁+x₂=2，②
由①，②得，
x₂=r+1，
将N（r+1，y）代入y=x²-2x-3得，y=r²-4，
∵r=|y|，
∴当y＞0时，r²-r-4=0，
∴r₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，r₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
当y＜0时，r²+r-4-0，
∴r³=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，r₄=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴圆的半径为：$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法确定函数关系式，轴对称的性质，圆与直线的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．