Question

某工厂生产某品牌的护眼灯，并将护眼灯按质量分成15个等级（等级越高，质量越好．如：二级产品好于一级产品）．若出售这批护眼灯，一级产品每台可获利21元，每提高一个等级每台可多获利润1元，工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯，每个等级每天生产的台数如下表表示：

等级（x级）	一级	二级	三级	…
生产量（y台/天）	78	76	74	…

（1）已知护眼灯每天的生产量y（台）是等级x（级）的一次函数，请直接写出y与x之间的函数关系式：

y=-2x+80

；
（2）每台护眼灯可获利z（元）关于等级x（级）的函数关系式：

z=20+x

；
（3）若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产哪一等级的护眼灯，才能获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）由于护眼灯每天的生产量y（台）是等级x（级）的一次函数，所以可设y=kx+b，再把（1，78）、（2，76）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据“一级产品每台可获利21元，每提高一个等级每台可多获利润1元”即可直接写出答案；
（2）设工厂生产x等级的护眼灯时，获得的利润为w元．由于等级提高时，带来每台护眼灯利润的提高，同时销售量下降．而x等级时，每台护眼灯的利润为[21+1（x-1）]元，销售量为y元，根据：利润=每台护眼灯的利润×销售量，列出w与x的函数关系式，再根据函数的性质即可求出最大利润．

解答：解：（1）由题意，设y=kx+b．
把（1，78）、（2，76）代入，
得

k+b=78 2k+b=76

，
解得

k=2 b=80

，
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80．
故答案为y=-2x+80；

（2）∵一级产品每台可获利21元，每提高一个等级每台可多获利润1元
∴每台护眼灯可获利z（元）关于等级x（级）的函数关系式：z=[21+1（x-1）]=20+x；

（3）设工厂生产x等级的护眼灯时，获得的利润为w元．
由题意，有w=[21+1（x-1）]y
=[21+1（x-1）]（-2x+80）
=-2（x-10）²+1800，
所以当x=10时，可获得最大利润1800元．
故若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产十级的护眼灯时，能获得最大利润，最大利润是1800元．

点评：本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式及二次函数的应用，难度中等．（2）中生产等级提高时，带来每台护眼灯利润的提高，同时销售量下降，列函数关系式时，要注意这“一增一减”，这是本题的难点．