Question

△ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC的平分线上一点D满足DB=DA，
（1）当BP和BA重合时（如图1），∠BPD=______；
（2）当BP在∠ABC内部时（如图2），求∠BPD；
（3）当BP在∠ABC外部时，请直接写出∠BPD，并画出相应的图形．

Answer 1

解：（1）∠BPD=30°；

（2）如图，连接CD，
∵点D在∠PBC的平分线上
∴∠PBD=∠CBD
∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°
∵BP=BA
∴BP=BC
∵BD=BD
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°
∴∠BPD=30°；

（3）∠BPD=30°或150°图形如下：
分析：（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠DPB，因为DB是∠PBC的平分线，因此，∠DBP=∠DPB=30°；
（2）本题可通过构建全等三角形来求解．连接CD，BP=BC，BD又是∠PBC的平分线，三角形PBD和三角形CBD中又有一公共边，因此两三角形全等，∠BPD=∠BCD，那么关键是求∠BCD的值，那么我们就要看∠BCD和∠ACB的关系了，可通过证明三角形ACD和BCD全等来得出，这两个三角形中，BD=AD，BC=AC，有一条公共边CD因此∠BCD=∠ACD=30°，那么就求出∠BPD的度数了；
（3）同（2）的证法完全一样，步骤有2个，一是得出∠BCD的度数，二是证明三角形BPD和BCD全等，同（2）完全一样．
（当∠BPD是钝角时，∠BPD=∠BCD=（360-60）÷2=150°，还是用的（2）中的三角形BPD，BCD全等，BCD，ACD全等）
点评：本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；通过全等三角形得出角相等是解题的关键．