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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
    （1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
    （2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
    （3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
    （4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．
    （1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    过点A（3，0）、C（0，4），解得：
    y=-
    4
    3
    x+4    ，
    N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
    代入直线解析式得纵坐标为
    4
    3
    x    ，
    所以P点坐标为：（3-x，
    4
    3
    x    ）；

    （2）AM边上的高为P点纵坐标，
    所以有：h=
    4
    3
    x    ，
    M点坐标为（x，0），
    AM=3-x，
    所以有：S=
    1
    2
    AM•h，
    解得：S=-
    2
    3
    x2+2x    =-
    2
    3
    (x-
    3
    2
    )    2    +
    3
    2
    ，
    解得S的最大值为
    3
    2
    ，

    （3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
    5
    3
    x    ，
    ∵
    AP
    AM
    =
    AO
    AC

    ∴
    5
    3
    x
    3-x
    =
    3
    5
    ，解得：
    x=
    27
    34
    ，即P点坐标为（
    75
    34
    ，
    18
    17
    ），
    同理可得当
    AM
    AP
    =
    AO
    AC
    时，
    P点坐标为（
    3
    2
    ，2）；
    故有P点坐标为：P1（
    75
    34
    ，
    18
    17
    ）、P2（
    3
    2
    ，2）；

    （4）△PMA能成为等腰三角形，
    有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+(0-
    4
    3
    x)    2    =（3-x）2，
    解得：x1=
    9
    8
    ，x2=-
    9
    2
    （舍去），
    ∴3-x=
    15
    8
    ，
    4
    3
    x=
    3
    2
    ，
    ∴P的坐标是（
    15
    8
    ，
    3
    2
    ），
    ②AP=PM时，[3-（3-x）]2+(0-
    4
    3
    x)    2    =[（3-x）-x]2+(
    4
    3
    x-0)    2    ，
    解得：x1=1，x2=3（舍去），
    ∴3-x=2，
    4
    3
    x=
    4
    3
    ，
    ∴P的坐标是（2，
    2
    3
    ），
    ③MP=MA时，[（3-x）-x]2+(
    4
    3
    x-0)    2    =（3-x）2，
    解得：x1=0（舍去），x2=
    54
    43
    ，
    ∴3-x=
    75
    43
    ，
    4
    3
    x=
    72
    43
    ，
    ∴P的坐标是（
    75
    43
    ，
    72
    43
    ），
    即P点的坐标分别为
    P1（2，
    4
    3
    ）、P2（
    15
    8
    ，
    3
    2
    ）、P3（
    75
    43
    ，
    72
    43
    ）．
    答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
    P1（2，
    4
    3
    ）、P2（
    15
    8
    ，
    3
    2
    ）、P3（
    75
    43
    ，
    72
    43
    ）．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为（3，3），MH为斜边上的高．抛物线C：y=-
    1
    4
    x2+nx    与直线y=
    1
    2
    x    及过N点垂直于x轴的直线交于点D．点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM于点E．设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．
    （1）直接写出点D的坐标及n的值；
    （2）判断抛物线C的顶点是否在直线OM上？并说明理由；
    （3）当m≠3时，求S与m的函数关系式；
    （4）如图2，设直线PE交射线OD于R，交抛物线C于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQFG，其中RG=
    3
    2
    ，直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2
    		3
    ，0），⊙P刚好与x轴相切于点A，⊙P交y的正半轴于点B，点C，且BC=4．
    （1）求半径PA的长；
    （2）求证：四边形CAPB为菱形；
    （3）有一开口向下的抛物线过O，A两点，当它的顶点不在直线AB的上方时，求函数表达式的二次项系数a的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
    （1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
    （2）求S与t的函数关系式；
    （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
    （3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知二次函数y=
    1
    2
    x2+bx+c的图象经过点A（-3，6），并且与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
    （1）求这个二次函数解析式；
    （2）设D为线段OC上的点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y1=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，且A、C两点的坐标分别为A（-1，0）、C（0，-3）．
    （1）求抛物线y1=ax2+bx+c和直线BC：y2=mx+n的解析式；
    （2）当y1•y2≥0时，直接写出x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m．若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，?ABCO的顶点O在原点，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，2），点C在第一象限．
    （1）直接写出点C的坐标；
    （2）将?ABCO绕点O逆时针旋转，使OC落在y轴的正半轴上，如图②，得□DEFG（点D与点O重合）．FG与边AB、x轴分别交于点Q、点P．设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为S0，求S0的值；
    （3）若将（2）中得到的?DEFG沿x轴正方向平移，在移动的过程中，设动点D的坐标为（t，0），?DEFG与?ABCO重叠部分的面积为S．写出S与t（0＜t≤2）的函数关系式．（直接写出结果）

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