Question

将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．
（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．
（3）在（2）的条件下，设T（x，y）①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．
（4）如图（3），如果将矩形OABC变为平行四边形OA“B“C“，使O C“=10，O C“边上的高等于6，其它条件均不变，探求：这时T（x，y）的坐标y与x之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式．

Answer 1

解：（1）方法1：设OE=m或E（0，m），则AE=6-m，OE=m，CD=10
由勾股定理得BD=8，则AD=2．
在△ADE中由勾股定理得（6-m）²+2²=m²，
解得m=，
∴点E的坐标为（0，）
方法2：设OE=m或E（0，m），则AE=6-m，OE=m，CD=10．
由勾股定理得BD=8，则AD=2．
由∠EDC=∠EAD=90°，得∠AED=∠CDB，△ADE∽△BCD．
故，
解得m=，
∴点E的坐标为（0，）．

（2）连接OD′交E'F于P，由折叠可知E'F垂直平分OD'即OP=PD'，
由OE'∥D'G，从而得出OE'=D'T．
从而AE'=TG．

（3）①
连接OT，OD′，交FE′于点P，
由（2）可得OT=D'T，
由勾股定理可得x²+y²=（6-y）²，
得y=-x²+3．
②结合（1）可得AD'=OG=2时，x最小，从而x≥2，
当E'F恰好平分∠OAB时，AD'最大即x最大，
此时G点与F点重合，四边形AOFD'为正方形，
故x最大为6．
从而x≤6，2≤x≤6．

（4）y与x之间仍然满足（3）中所得的函数关系式．
理由：连接OT'仍然可得OT'=D''T'，
由勾股定理可得，
即x²+y²=（6-y）²．
从而（3）中所得的函数关系式仍然成立．
分析：（1）根据折叠的性质可得出DE=OE，OC=CD，如果设出E点的坐标，可用E的纵坐标表示出AE，ED的长，可根据相似三角形ADE和CDB得出的关于AE、BC、AD、BD的比例关系式求出E点的纵坐标．也就求出了E的坐标；
（2）本题可通过证D′T=OE′来求出，如果连接OD′，那么E′F必垂直平分OD′，如果设OD′与E′F的交点为P，那么OP=D′P，△OE′P≌△D′PT，可得D′T=OE′．由此可证得A′E′=TG．
（3）可先根据T的坐标表示出A′D′，A′E′，然后可在直角三角形A′D′E′中表示出D′E′，而D′E′又可用A′O-A′E′表示．可以此来求出y，x的函数关系式．
在（1）中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，E′F平分∠OAB，即E′与A′重合，四边形E′OGD为正方形，可据此求出此时x的值．有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围．
（4）（2）（3）得出的结论均成立，证法同上．
点评：本题考查了二次函数的应用、图形翻折变换、三角形全等、勾股定理、平行四边形和矩形的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．