解:(1)当正三角形ABC向右翻滚一周时,其中心O经过的路线是三条等弧,
所以其中心O经过的路程为:
.
(2)中心O经过的路程为
.
(3)当n边形向右翻滚一周时,其中心O经过的路线是n条等弧,这些弧的半径为R,所对的圆心角为
,
所以中心O经过的路程为
.
(4)是定值2πR,理由如下:
在△ABC中,设∠A=α,∠B=β,∠C=γ,△ABC的外接圆⊙O的半径为R,
把△ABC沿直线l向右翻滚一周时,其外心O经过的路线是三条弧,
当AC边与直线l重合时,C与C'重合,A与A'重合,B与B'重合,
连接CO、C'O',则∠ACO=∠A'C'O',
所以∠OCO'=∠ACA'=180°-γ,
所以
,
同理,另两条弧长分别为:
,
,
所以外心O所经过的路程为2πR.
通过以上猜想可得结论为:把圆内接多边形翻滚一周时,多边形的外心所经过的路程是一个定值.
分析:(1)当正三角形ABC向右翻滚一周时,其中心O经过的路线是三条等弧,根据弧长公式求出一条弧长,继而可得出答案.
(2)滚过的路程相当于90°的圆弧的长,继而代入弧长公式计算即可.
(3)当n边形向右翻滚一周时,其中心O经过的路线是n条等弧,这些弧的半径为R,所对的圆心角为
,继而代入计算即可.
(4)是定值2πR,按照前面的计算思想进行证明即可.
点评:此题考查了弧长的计算,解答本题的关键是掌握一些特殊图形的性质,熟练记忆弧长公式,有一定的难度,注意培养猜测、推理能力.