Question

（2011•舟山）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD²=CE•AB．其中正确结论的序号是_______________

Answer 1

①④解析:
证明：①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正确．
②∵△CED与△AED不全等，
∴CE≠OE，
∴②错误．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，其它两角都不相等，
∴不能证明△ODE和△ADO全等，
∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣25°=45°，
∴△CED∽△COD，
∴=，
∴CD²=OD•CE=AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正确．
综上所述，只有①④正确．
故答案为：①④．