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(2013•绥化)如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
(2)求直线MN的解析式;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标.
分析:(1)通过解方程x2-14x+48=0可以求得OC=6,OA=8.则C(0,6);
(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k≠0).把点A、C的坐标分别代入解析式,列出关于系数k、b的方程组,通过解方程组即可求得它们的值;
(3)需要分类讨论:PB为腰,PB为底两种情况下的点P的坐标.根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答.
解答:解:(1)解方程x2-14x+48=0得
x1=6,x2=8.
∵OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根,
∴OC=6,OA=8.
∴C(0,6);

(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k≠0).
由(1)知,OA=8,则A(8,0).
∵点A、C都在直线MN上,
8k+b=0
b=6

解得,
k=-
3
4
b=6

∴直线MN的解析式为y=-
3
4
x+6;

(3)∵A(8,0),C(0,6),
∴根据题意知B(8,6).
∵点P在直线MNy=-
3
4
x+6上,
∴设P(a,-
3
4
a+6)
当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论:
①当PC=PB时,点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点,则P1(4,3);
②当PC=BC时,a2+(-
3
4
a+6-6)2=64,
解得,a=±
32
5
,则P2(-
32
5
54
5
),P3
32
5
6
5
);
③当PB=BC时,(a-8)2+(-
3
4
a+6-6)2=64,
解得,a=
256
25
,则-
3
4
a+6=-
42
25
,∴P4
256
25
,-
42
25
).
综上所述,符合条件的点P有:P1(4,3),P2(-
32
5
54
5
)P3
32
5
6
5
),P4
256
25
,-
42
25
).
点评:本题考查了一次函数综合题.其中涉及到的知识点有:待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质.解答(3)题时,要分类讨论,防止漏解.另外,解答(3)题时,还利用了“数形结合”的数学思想.
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OC
OC
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