Question

19．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，sin∠C=$\frac{4}{5}$，PA=$\frac{20}{3}$，则⊙O的面积为（　　）

• A． 16π
• B． 25π
• C． 9π
• D． 8π

Answer 1

分析 作直径AM，连接AB、PO，BM，先证明∠AOP=∠AMB=∠ACB，在RT△PAO中，利用三角函数先求出PO，再利用勾股定理求出AO即可．

解答 解：作直径AM，连接AB、PO，BM，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴∠APO=∠BPO，PO⊥AB，∠PAO=90°，
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°，
∴AB⊥BM，
∴OP∥BM，
∴∠AOP=∠AMB=∠ACB，
∴sin∠POA=sin∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{PA}{OP}$=$\frac{4}{5}$，∵PA=$\frac{20}{3}$，
∴PO=$\frac{25}{3}$，
∴AO=$\sqrt{P{O}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{3}）^{2}-（\frac{20}{3}）^{2}}$=5，
∴⊙O的面积为25π．
故选B．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理，三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是证明∠AOP=∠AOC，体现了转化的思想，属于中考常考题型．