Question

7．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为点E．若四边形ABCD的面积为16，则BE=4．

Answer 1

分析 作BF⊥DC于F，如图，易得四边形BEDF为矩形，再证明△ABE≌△CBF得到BE=BF，S_△ABE=S_△CBF，则可判断四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积=四边形ABCD的面积，然后根据正方形的面积公式计算BE的长．

解答 解：作BF⊥DC于F，如图，
∵∠CDA=90°，BE⊥AD，BF⊥DF，
∴四边形BEDF为矩形，
∴∠EBF=90°，即∠EBC+∠CBF=90°
∵∠ABC=90°，即∠EBC+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBF}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，S_△ABE=S_△CBF，
∴四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积=四边形ABCD的面积，
∴BE=$\sqrt{16}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．