Question

如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10）、（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易得Q（1，0），结合P、Q得运动方向、轨迹，分析可得答案；
（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，在Rt△AFB中，过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，易得△ABF≌△BCH，进而可得C得坐标；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，易得△APM∽△ABF，根据相似三角形的性质，有

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

，设△OPQ的面积为S，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，易得Q（1，0），
点P运动速度每秒钟1个单位长度．

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，
过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．
∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∠FAB=∠CBH
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
∴AB=

62+82

=10，
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C点的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

．∴

t

10

=

AM

6

=

MP

8

．∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t．
∴PN=OM=10-

3

5

t，  ON=PM=

4

5

t．
∵开始时Q（1，0），动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，
∴OQ=1+t，
设△OPQ的面积为S（平方单位）
∴S=

1

2

×(10-

3

5

t)(1+t)=5+

47

10

t-

3

10

t2（0≤t≤10）
∵a=-

3

10

＜0
∴当t=

47 10

2×(- 3 10 )

=

47

6

时，△OPQ的面积最大此时P的坐标为（

94

15

，

53

10

）．

点评：主要考查的图形与函数的综合应用，要熟练掌握相似的性质和正方形的性质，并能够将他们与二次函数的应用有效的结合起来；解决此类问题，注意数形结合得思想的运用．