Question

15．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，若OC=1，则PC的长是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义用PD（即PC）表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．

解答 解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=1，
∴QC=OCtan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠APD=30°，
在Rt△QPD中，cos30°=$\frac{DP}{PQ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC，
∴QC=PQ+PC，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC+PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：PC=2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$

点评 此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．