Question

如图，四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，E，F分别是AB，CD上的点，且∠DAF=∠BCE，

（1）求证：AE=CF；
（2）若将此题中的条件改为：“E，F分别是AB，CD延长线上的点”，其余条件不变，此时，∠ABC=60°，∠BEC=40°，作∠ABC的平分线BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度数（要求：画示意图，不写画法，写推理过程）

Answer 1

解：（1）∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，
∵∠DAF=∠BCE，
∴△ADF≌△CBE，
∴BE=DF，
∴AE=CF；

（2）∵∠ABM=∠CBM=∠ABC=30°，
又∵AD∥BC
∴∠MND=∠CBM=30°
∵∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠BCE=∠ABC-∠E=60°-40°=20°
∴∠FAD=∠BCE=20°
又∵∠MND=∠FAD+∠AMN
∴∠AMN=∠MND-∠FAD=30°-20°=10°．
分析：（1）易得四边形ABCD是平行四边形，那么∠D=∠B，易得△ADF≌△CBE，那么BE=DF，∴AE=CF；
（2）利用外角等于和它不相邻的2个内角的和可得∠BCE的度数，也就求得了∠DAF的度数，利用角平分线定义易得∠NBC的度数，也就求得了∠MND的度数，利用三角形的外角的性质即可求得∠AMN的度数．
点评：用到的知识点为：两组对边分别相等的四边形的平行四边形；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；角平分线把一个角分成了2个相等的角；三角形的内角和是180°．