Question

已知一个多项式P=2a²-8ab+17b²-16a-4b+2077，当a，b为何值时，P有最小值？并求出P的最小值．

Answer 1

分析：要解答本题的关键是把原式配成非负数的和的形式，利用非负数的和定理就可以求出P的最小值．就需要根据完全平方公式的特征对式子进行变形，变成非负数与常数的和的形式．就要将2a²，17b²，进行变形为a²+a²，和b²+16b²，变化这两步是关键．这样就可以将原式变形，求値了．

解答：解：由题意，得
P=a²+a²-8ab+b²+16b²-16a-4b+2077，
=（a²-16a+64）+（a²-8ab+16b²）+（b²-4b+4）+2009，
=（a-8）²+（a-4b）²+（b-2）²+2009，
∵要使P值最小，则（a-8）²、（a-4b）²、（b-2）² 最小，它们都是非负数，所以最小值为0，
∴a=8，b=2时，P的最小值为2009．
答：当a=8，b=2为何值时，P有最小值，P的最小值为2009．

点评：本题考查的是配方的运用，非负数的性质，偶次方的性质．要求学生具有较强的知识综合能力．