Question

（1）若x=1是关于x的方程x²+kx-6=0的一个根，则k的值为______；
（2）若关于x的方程x²+4x+a=0有两个相等的实根，则a=______；
（3）已知x₁，x₂是方程x²-3x-1=0的两根，则x₁²x₂+x₁x₂²=______．

Answer 1

解：（1）∵x=1是关于x的方程x²+kx-6=0的一个根，
∴1+k-6=0
解得：k=5．
（2）∵关于x的方程x²+4x+a=0有两个相等的实根，
∴△=16-4a=0，
解得：a=4．
故填空答案：4．
（3）∵x₁，x₂是方程x²-3x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=-1
所以x₁²x₂+x₁x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂）=-1×3=-3．
故填空答案：-3．
分析：（1）将根代入解方程即可得到k的值；
（2）因为关于x的方程x²+4x+a=0有两个相等的实根，所以△=16-4a=0，可解得a的值；
（3）由x₁、x₂是方程x²-3x-1=0的两根，欲求x₁²x₂+x₁x₂²的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．