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已知二次函数的图象过(0,3),(3,0),且对称轴为直线x=1.
(1)求这个二次函数的图象的解析式;
(2)指出二次函数图象的顶点坐标;
(3)利用草图分析,当函数值y>0时,x的取值范围是多少.
分析:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),根据题意得到
c=3
9a+3b+c=0
-
b
2a
=1
,然后解方程组即可确定解析式;
(2)由于对称轴为直线x=1,则把x=1代入解析式可计算出对应的纵坐标,这样可得到顶点坐标;
(3)先确定抛物线与x轴的交点坐标,画出草图,然后观察图象可得到当-1<x<3时,函数图象在x轴上方,即y>0.
解答:解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),
根据题意得
c=3
9a+3b+c=0
-
b
2a
=1
,解得
a=-1
b=2
c=3

所以个二次函数的图象的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)把x=1代入y=-x2+2x+3得y=-1+2+3=4,
所以抛物线的顶点坐标为(1,4);
(3)如图,令y=0,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
即抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),
当-1<x<3时,y>0.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组,解方程组即可确定其解析式.也考查了二次函数的图象与性质.
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