如图1.抛物线y=-x2+bx+c经过A两点.与y轴相交于点C.连结BC.点P为抛物线上一动点.过点P作x轴的垂线l.交直线BC于点G.交x轴于点E．(1)求抛物线的表达式,(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时.过点C作CF⊥直线l.F为垂足.当点P运动到何处时.以P.C.F为顶点的三角形与△OBC相似?并求出此时点P的坐标,(3)如图2.当点P在位于直线BC上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

6．如图1，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

分析（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）．则CF=a，PF=-a²+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接EC．设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）．则OE=a，PE=-a²+3a+4，EB=4-a．然后依据S_△PBC=S_{四边形PCEB}-S_△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．

解答解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．
（2）如图1所示：

∵令x=0得y=4，
∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°，
∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a²+3a+4-4|=|a²-3a|．
∴|a²-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC．

设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）．则OE=a，PE=-a²+3a+4，EB=4-a．
∵S_{四边形PCEB}=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{1}{2}$×4（-a²+3a+4），S_△CEB=$\frac{1}{2}$EB•OC=$\frac{1}{2}$×4×（4-a），
∴S_△PBC=S_{四边形PCEB}-S_△CEB=2（-a²+3a+4）-2（4-a）=-2a²+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是$\frac{1}{2}$；
（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．计算：$\sqrt{12}$+（-2）²-（$\frac{1}{3}$）^-2+（π+$\sqrt{3}$）⁰．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

14．下列各数中无理数是（　　）

A．

$\frac{π}{2}$

B．

$\frac{22}{7}$

C．

$\sqrt{4}$

D．

$\root{3}{27}$

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

1．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．