如图1,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=,∠ABO=30°.动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒
个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN.
(1)求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值.
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(4)在(3)中,设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使△ODR是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时,
MP⊥AB,∵∠A=60°,∴AP=4,∴
。(2分)
(2)∵AP=,∴BP=
又∵∠B=30°,∠PMB=600°,∴∠BPM=90°
tan∠B=
∴,即等边△PMN的边长为
.(4分)
(3)①当时,如图AP=
,∴
∴,∴
,
∴.
过F作FQ⊥0B于Q,则QN=4,∴EF=OQ=.
等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积,设为S1,
∴
∵>0,∴S1随t的增大而增大,
∴t=1时,,∴S1的最大值为.(7分)
②当<t<2时,如图
在△EGK中,GE=,∴EK=
,
∴S△GEK=.
∴等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差,设为S2,
∴.
∵,对称轴为
,
∴时,
的最大值为
.(9分)
当时,
。
综上可知:当时,S的最大值为
.(10分)
(4)过R作RH⊥OB于H,RH=,HN=4,
OH=,OD=12,DH=
,
①OR=OD=12时,,
∴,
,∴
>2,不合题意舍去。
②DR=OD=12时,,
∴,∴
>2,或
<0,都不合题意舍去。
③OR=DR时,H为CD中点,OH=6,∴,∴
。
综上所述,时,△ODR是等腰三角形。(12分)
【解析】(1)利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP,进而求出t的值;
(2)利用△BPH∽△BAO,得出PH的长,再利用解直角三角形求出PN的长;
(3)根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时,分别求出S的值;
(4)根据当D为顶点,OD=OR1=6时,当R2为顶点,OR2=DR2时,③当O为等腰△的顶点时,分别得出即可
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科目:初中数学 来源:2012届重庆全善学校九年级下学期第二次月考数学试卷(带解析) 题型:解答题
如图1,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=,∠ABO=30°.动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒
个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN.
(1)求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值.
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(4)在(3)中,设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使△ODR是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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