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(1)数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,,求证:∠B=30°,请你完成证明过程.
(2)如图②,四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,折痕交AE于点G,请运用(1)中的结论求∠ADG的度数和AG的长.
(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠,B、D两点恰好重合于一点O(如图④),当AB=6,求EF的长.

【答案】分析:(1)Rt△ABC中,根据sinB═=,即可证明∠B=30°;
(2)求出∠FA′D的度数,利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数,在Rt△A'FD中求出A'F,得出A'E,在Rt△A'EG中可求出A'G,利用翻折变换的性质可得出AG的长度.
(3)先判断出AD=AC,得出∠ACD=30°,∠DAC=60°,从而求出AD的长度,根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°,在Rt△ADF中求出DF,继而得出FO,同理可求出EO,再由EF=EO+FO,即可得出答案.
解答:(1)证明:Rt△ABC中,∠C=90°,
∵sinB==
∴∠B=30°;

(2)解:∵正方形边长为2,E、F为AB、CD的中点,
∴EA=FD=×边长=1,
∵沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,
∴A′D=AD=2,
=
∴∠FA′D=30°,
可得∠FDA′=90°-30°=60°,
∵A沿GD折叠落在A′处,
∴∠ADG=∠A′DG,AG=A′G,
∴∠ADG===15°,
∵A′D=2,FD=1,
∴A′F==
∴EA′=EF-A′F=2-
∵∠EA′G+∠DA′F=180°-∠GA′D=90°,
∴∠EA′G=90°-∠DA′F=90°-30°=60°,
∴∠EGA′=90°-∠EA′G=90°-60°=30°,
则A′G=AG=2EA′=2(2-);

(3)解:∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O,
∴DA=AO=CO=CB,
∴DA=
∵∠D=90°,
∴∠DCA=30°,
∵AB=CD=6,
在Rt△ACD中,=tan30°,
则AD=DC•tan30°=6×=2
∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°,
=tan30°=
∴DF=AD=2,
∴DF=FO=2,
同理EO=2,
∴EF=EO+FO=4.
点评:本题考查了翻折变换的知识,涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质,综合考察的知识点较多,注意将所学知识融会贯通.
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A、50B、50或40C、50或40或30D、50或30或20

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(-x2+3xy-
1
2
y2)-(-
1
2
x2+4xy-
3
2
y2)=-
1
2
x2_____+y2(  )
A、-7xyB、7xy
C、-xyD、xy

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1
2
y2)-(-
1
2
x2+4xy-
3
2
y2)=-
1
2
x2精英家教网+y2  阴影的地方被钢笔水弄污了,那么空格中的一项是(  )
A、-7xyB、+7xy
C、-xyD、+xy

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(2013•许昌一模)某次数学课上,老师出示了一道题,如图1,在边长为4等边三角形ABC中,点E在AB上.
AE
AB
=
1
3
.点D在CB的延长线上,且ED=EC,求CD的长.
(1)尝试探究
在图1中,过点E作EF∥BC,交AC于点F.先确定线段,AE与BD的大小关系是
AE=BD
AE=BD
,然后求出CD的长为
16
3
16
3

(2)类比延伸
如图2,在原题条件下,若
AE
AB
=
1
n
(n>0),△ABC边长为m,则CD的长为
mn+m
n
mn+m
n
(用含n,m的代数式表示)试写出解答过程.

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