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取一张矩形的纸,按如下操作过程折叠:
第一步:将矩形ABCD沿MN对折,如图1;第二步:把B点叠在折痕MN上,新折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,如图2;第三步:展开,得到图3.
(1)你认为∠BAE的度数为
 

(2)利用图3试证明(1)的结论.
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分析:(1)可先猜测三个角相等,且和为90°,那么每个角是30°;
(2)先过点B′作B′F⊥AD于F,矩形ABCD关于MN对折,所以有AM=BM=
1
2
AB,∠AMB′=90°,所以四边形AMB′F是矩形,又△ABE关于AE对折得到△AB′E,所以AB=AB′,BE=B′E,且∠BAE=∠B′AE,所以就有B′F=
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2
AB′,可求出∠B′AF=30°,所以∠BAE=30°.
解答:(1)解:易得△B′MA为直角三角形,那么AM等于AB′的一半,即可得到∠MB′A=30°,
利用三角形内角和定理可得∠MAB′=60°,那么∠BAE等于∠MAB′的一半,为30°;(3分)

(2)证明:过点B′作B′F⊥AD于F,(4分)
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∵矩形ABCD沿MN对折,
∴MA=MB=
1
2
AB
,∠AMB′=90°,(5分)
又∵∠MAF=∠B′FA=90°,
∴四边形AFB′M是矩形,
∴B′F=AM,(6分)
∵AB=AB′,
∴B′F=
1
2
AB′
,(8分)
∴∠B′AF=30°,
∴∠BAB′=60°,(9分)
又∵∠ABE=EAB′,
∴∠BAE=30°.(10分)
点评:本题综合考查了对折后得到的两个图形全等,如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半,那么这个直角边所对的角是30°等知识.
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(2)利用图3试证明(1)的结论.

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(2)利用图3试证明(1)的结论.

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