【题目】如图,每个小方格都是边长为1个单位的小正方形,A、B、C三点都是格点(每个小方格的顶点叫格点),其中A(1,8),B(3,8),C(4,7).
(1)若D(2,3),请在网格图中画一个格点△DEF,使△DEF ∽△ABC,且相似比为2∶1;
(2)求∠D的正弦值;
(3)若△ABC外接圆的圆心为P,则点P的坐标为__________.
【答案】(2,6)
【解析】
(1)利用相似比为2:1,将三角形各边扩大2倍,进而得出对应点位置即可得出答案;
(2)作FG⊥DE于G,在Rt△DFG中利用正弦函数的定义即可求解;
(3)设点P的坐标为(x,y),根据“三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等”列出等式,化简即可得出点P的坐标.
(1)如图所示:△DEF即为所求;
(2)如图,作FG⊥DE于G,
∵在Rt△DFG中,FG=2,DG=6,
∴DF=,
∴sin∠D=;
(3)设点P的坐标为(x,y);
∵△ABC外接圆的圆心为P,
∴PA=PB=PC,
∵A(1,8),B(3,8),C(4,7),
∴(1-x)2+(8-y)2=(3-x)2+(8-y)2=(4-x)2+(7-y)2,
化简后得x=2,y=6,
因此点P的坐标为(2,6).
故答案为(2,6).
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:①c>0;②若B(﹣,y1),C(﹣,y2)为图象上的两点,则y1<y2;③2a﹣b=0;④<0,其中正确的结论是_____.
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【题目】如图,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点.
某研究小组在进行课题学习时,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为的图形分成两部分,这两部分的面积分别为,,如果,那么称直线为该图形的黄金分割线.(如图)
问题.试在图的梯形中画出至少五条黄金分割线,并说明理由.
类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义:截面将一个体积为的图形分成体积为V1
、的两个图形,且,则称直线为该图形的黄金分割面.
问题:如图,长方体中,是线段上的黄金分割点,证明经过点且平行于平面的截面是长方体的黄金分割面.
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【题目】已知,在平面直角坐标系中,点,,过点作直线与轴互相垂直,为轴上的一个动点,且.
(1)如图1,若点是第二象限内的一个点,且时,求点的坐标;(用的代数式表示)
(2)如图2,若点是第三象限内的一个点,设点的坐标,求的取值范围:
(3)如图3,连接,作的平分线,点、分别是射线与边上的两个动点,连接、,当时,试求的最小值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C出发,以2 cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动,同时点E从点B出发,以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动,设点E运动的时间为t (单位:s)(0<t<8).
(1) 当△BDE 是直角三角形时,求t的值;
(2)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形,①设它的面积为S,求S关于t的函数关系式;②是否存在某个时刻t,使平行四边形CDEF为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.原文是:今有池方一丈,葭生其中央,出水尺.引葭赴岸,适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是:如图,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,BC=10,BC边上的高为3.将点A绕点B逆时针旋转90°得到点E,绕点C顺时针旋转90°得到点D.沿BC翻折得到点F,从而得到一个凸五边形BFCDE,求五边形BFCDE的面积.
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【题目】某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售,其进价与标价如下表:
LED灯泡 | 普通白炽灯泡 | |
进价(元) | 45 | 25 |
标价(元) | 60 | 30 |
(1)该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个,LED灯泡按标价进行销售,而普通白炽灯泡打九折销售,当销售完这批灯泡后可获利3200元,求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个?
(2)由于春节期间热销,很快将两种灯泡销售完,若该商场计划再次购进这两种灯泡120个,在不打折的情况下,请问如何进货,销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%,并求出此时这批灯泡的总利润为多少元?
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