Question

2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AC，OD交于点P，其中OA=4，OB=3．
（1）试求C、D两点的坐标；
（2）求直线OD、AC的解析式；
（3）求△AOP的面积．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥OA于点E，由△DEA≌△AOB  （AAS），推出DE=AO=4，AE=BO=3，OE=AE+AO=3+4=7可得点D的坐标为（4，7）．同法可得点C坐标；
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（3）利用方程组求出点P坐标即可解决问题；

解答 解：（1）过点D作DE⊥OA于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAB=∠DEA=∠DAB=90°．
∵OA⊥OB
∴∠DAE+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°
∴∠DAE=∠ABO
在DAE和AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠AOB}\\{∠DAE=∠ABO}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△AOB  （AAS），
∴DE=AO=4，AE=BO=3
∴OE=AE+AO=3+4=7
∴点D的坐标为（4，7）．
过点C作CF⊥OB于点F，
由第（1）问易得：△AOB≌BFC，
BF=4，CF=3，
∴OF=OB+BF=7，
∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（7，3）

（2）设OD所在直线的解析式为y=k₁x （k₁≠0）
将点D （4，7）代入得：4k₁=7，
解得：k₁=$\frac{7}{4}$，
所以OD所在直线的解析式为y=$\frac{7}{4}$x；
设AC所在直线的解析式为y=₂x+b （k₂≠0），
将点A（0，4），点C（7，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{7{k}_{2}+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以AC所在直线的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+4，
（3）联立OD、AC得方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{7}x}\\{y=-\frac{1}{7}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{112}{53}}\\{y=\frac{196}{53}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（ $\frac{112}{53}$，$\frac{196}{53}$ ）
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{112}{53}$=$\frac{224}{53}$；

点评 本题考查了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式、解方程组求交点坐标，三角形的面积公式；证明三角形全等和求出函数解析式是解决问题的关键．