Question

（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=

10

，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）连接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切线的性质得出OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=

10

2

，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到

AE

AD

=

AO

AC

，求出AO=

5

3

，即⊙O的半径为

5

3

；解法二：如图2②，连接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得到

AC

AD

=

AB

AC

，求出AB=

10

3

，则⊙O的半径为

5

3

．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；

（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD=

AC2-DC2

=

( 10 )2-12

=3，
∵OE⊥AC，
∴AE=

1

2

AC=

10

2

．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AO

AC

，即

10 2

3

=

AO

10

，
∴AO=

5

3

，即⊙O的半径为

5

3

．
解法二：如图2②，连接BC．
在Rt△ADC中，AD=

AC2-DC2

=

( 10 )2-12

=3．
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
即

10

3

=

AB

10

，
∴AB=

10

3

，
∴AO=

1

2

AB=

1

2

×

10

3

=

5

3

，
即⊙O的半径为

5

3

．

点评：本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．