Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知A（-a，0）、B（0，b），a、b满足（a+b-6）²+|a-2b+3|=0
（1）如图1，若C点坐标为（1，0）且AH⊥BC于H，AH交OB于点P，求P点坐标；
（2）如图2，若∠APO=45°，求证：PA⊥PB；
（3）如图3，若B（0，3），点D在x轴负半轴上运动，点E在x轴正半轴上运动，满足S_△BDE=24，分别以BE、BD为腰作等腰Rt△BEN、等腰Rt△BDM，连结MN交y轴于Q点，OQ的长度是否发生变化？若不变，求出OQ的值；若变化，求OQ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质求出a、b，得到AC=4，OB=3，OC=1，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式求出AH，利用小时三角形的性质求出OP，得到P点坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质、四点共圆证明；
（3）过N作NH∥BM，交y轴于H，证明△HBN≌△DEB，根据全等三角形的性质、三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{a+b-6=0}\\{a-2b+3=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=3}\end{array}\right.$；
由题意得，AC=4，OB=3，OC=1，
由勾股定理得，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
$\frac{1}{2}$×AC×OB=$\frac{1}{2}$×BC×AH，即$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×AH，
解得，AH=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
则HC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∵∠AHC=∠AOP=90°，∠OAP=∠HAC，
∴△AOP∽△AHC，
∴$\frac{AO}{AH}$=$\frac{OP}{HC}$，即$\frac{3}{\frac{6\sqrt{10}}{5}}$=$\frac{OP}{\frac{2\sqrt{10}}{5}}$，
解得，OP=1，
∴点P的坐标为：（0，1）；
（2）∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠APO=∠OBA，
∴P、A、O、B四点共圆，
∴∠APB=∠AOB=90°，
∴PA⊥PB；
（3）OQ的长度不会发生改变．
如图3，过N作NH∥BM，交y轴于H，则∠BNH+∠MBN=180°，
∵等腰Rt△DBM、等腰Rt△EBN，
∴∠MBN+∠DBE=180°，
∴∠BNH=∠DBE，
∵∠HBN+∠OBE=90°，∠DEB+∠OBE=90°，
∴∠HBN=∠DEB，
在△HBN和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BNH=∠EDB}\\{BN=BE}\\{∠HBN=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△HBN≌△DEB，
∴HN=BD，BH=CE，
∴HN=BM，
∵NH∥BM，
∴BQ=QH，
∵S_△BDE=24，OB=3，
∴DE=16，
∴BH=16，
∴BQ=QH=8，
∴OQ=3+8=11．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．