在我们学习过的数学教科书中.有一个数学活动.其具体操作过程是:第一步:对折矩形纸片ABCD.使AD与BC重合.得到折痕EF.把纸片展开,第二步:再一次折叠纸片.使点A落在EF上.并使折痕经过点B.得到折痕BM.同时得到线段BN．如图②所示建立平面直角坐标系.请解答以下问题:(Ⅰ)设直线BM的解析式为y=kx.求k的值,(Ⅱ)若MN的延长线与矩形ABCD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图①）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图②）．
如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：
（Ⅰ）设直线BM的解析式为y=kx，求k的值；
（Ⅱ）若MN的延长线与矩形ABCD的边BC交于点P，设矩形的边AB=a，BC=b；
（i）若a=2，b=4，求P点的坐标；
（ii）请直接写出a、b应该满足的条件．

分析（Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，由折叠的性质可证△BMP为等边三角形，由M点的坐标可求得k的值；
（Ⅱ）（i）在Rt△ABM中，由三角形的性质可求得BM的长，则可求得BP的长，可求得P点坐标；
（ii）由题意可知BC≥BP，在Rt△BNP中，由三角函数的定义可用a表示出BP，则可得到a、b所满足的条件．

解答解：
（Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，如图，

∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等边三角形，
∵点M在直线y=kx上，
∴k=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=tan60°=$\sqrt{3}$；

（Ⅱ）（i）由题意可知AB=a=2，
在Rt△ABM中，cos∠ABM=$\frac{AB}{BM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{BM}$，解得BM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BP=BM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）；
（ii）由题意可知BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=$\frac{a}{cos30°}$，
∴b≥$\frac{a}{cos30°}$，
∴a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性质、等边三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识．在（Ⅰ）中证得△BMP是等边三角形是解题的关键，在（Ⅱ）中求得BP的值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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