分析 (1)连接CF,根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DF=EF,根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°,求出△AEF是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF,然后等量代换即可得证;
(2)根据正方形的对角线等于边长的$\sqrt{2}$倍求出AC,然后求出AE,过点E作EH⊥AB于H,判断出△AEH是等腰直角三角形,然后求出EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE,再求出BH,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
解答 (1)证明:如图,连接CF,
在Rt△CDF和Rt△CEF中,$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{CE=CD}\end{array}\right.$,
∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL),
∴DF=EF,
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠EAF=45°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AE=EF,
∴DF=AE;
(2)解:∵AB=2,
∴AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$,
∵CE=CD,
∴AE=2$\sqrt{2}$-2,
过点E作EH⊥AB于H,
则△AEH是等腰直角三角形,
∴EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×(2$\sqrt{2}$-2)=2-$\sqrt{2}$,
∴AE=$\sqrt{2}$EH=2$\sqrt{2}$-2,
∴AF=$\sqrt{2}$AE=4-2$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键.
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A. | 50$\sqrt{3}$ | B. | 100$\sqrt{3}$ | C. | 200$\sqrt{3}$ | D. | 400$\sqrt{3}$ |
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A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | 4$\sqrt{2}$ | C. | 8$\sqrt{2}$ | D. | 16$\sqrt{2}$ |
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