Question

2．已知：如图（1），在矩形透明纸板ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，沿对角线AC将其裁剪成△ABC和△EDF纸板，现将△DEF纸板沿射线DA方向以1cm/s的速度向左移动，如图（2），线段EF与AB交点为M，线段AC与DE交点为N，设△DEF纸板的移动时间为t秒，且0＜t≤8，请解答下列问题：
（1）如图（2），求证：△AMF≌△ENC；
（2）如图（2），在运动过程中，形成四边形AMEN可以是菱形吗？如果可以，请求出相应t的值；如果不可以，请说明理由．
（3）如图（3），连接MN和DM，问：在移动过程中，形成的△DMN可以是等腰三角形吗？如果可以，请求出相应t的值；如果不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意易证四边形AFEC和四边形AMEN都是平行四边形，于是AF=EC，AM=EN，即可证明△AMF≌△ENC；
（2）易知△FAM∽△FDE，△MBE∽△ABC，可得到AM和BM用t表示的表达式，根据勾股定理得到ME的表达式，当AM=BM时，列方程解决问题；
（3）作DG⊥DN，若△DMN可以是等腰三角形，则AM=EN=DG=GN=$\frac{1}{2}$DN，列方程解得t的值即可．

解答 解：（1）根据题意可知：四边形AFEC和四边形AMEN是平行四边形，
∴AF=EC，AM=EN；
在△AMF和△ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EC}\\{∠FAM=∠CEN}\\{AM=EN}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△ENC（HL）；
（2）易知△FAM∽△FDE，
∴$\frac{FA}{FD}=\frac{AM}{DE}$，
∵AF=t，DE=6cm，FD=8cm；
∴AM=$\frac{3}{4}$t，
易知△MBE∽△ABC，
∴$\frac{MB}{BA}=\frac{BE}{BC}$，
∵BE=8-t，AB=6cm，BC=8cm，
∴MB=$\frac{3}{4}$（8-t），
∵四边形AMEN是平行四边形，
∴当AM=ME时，四边形AMEN是菱形，
∴$\frac{3}{4}$t=$\sqrt{（8-t）^{2}+[\frac{3}{4}（8-t）]^{2}}$，
解得：t=5或t=20（舍去），
∴t=5时，四边形AMEN是菱形；
（3）如图，作MG⊥DN于G，若△DMN是等腰三角形，则AM=EN=DG=GN=$\frac{1}{2}$DN，
∵AM=EN=$\frac{3}{4}$t，
∴DN=6-$\frac{3}{4}$t，
∴$\frac{3}{4}$t=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{3}{4}$t），
解得：t=$\frac{8}{3}$，
∴当t=$\frac{8}{3}$时，△DMN是等腰三角形．

点评 本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、菱形的判定、等腰三角形的判定以及方程思想的运用，综合性较强，有一定难度．