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8.已知正方形ABCD,P为边AB上一点(P不与A、B重合),过P作PE⊥CP,且CP=PE,连接AE.
(1)如图1,求∠EAD的度数;
(2)如图2,连接CE交BD于G,求证:AE+2DG=$\sqrt{2}$CD;
(3)如图2,当BC=10,PA=6,则BG=7$\sqrt{2}$(直接写出结果)

分析 (1)如图1中,作EH⊥BA于H.只要证明△HPE≌△CBP,推出BC=PH=AB,HE=PB,推出PB=AH=EH,推出∠HAE=45°,即可解决问题;
(2)作EK∥AB交BD于K.首先证明四边形ABKE是平行四边形,再证明△GEK≌△GCD,可得GD=GK,根据BD=$\sqrt{2}$CD,即可解决问题;
(3)理由(1)(2)中结论即可解决问题;

解答 (1)解:如图1中,作EH⊥BA于H.

∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠BAD=∠HAD=90°,AB=BC,
∵EP⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠BPC+∠HPE=90°,∠BPC+∠BCP=90°,
∴∠HPE=∠BCP,
在△HPE和△CBP中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠B=90°}\\{∠HPE=∠BCP}\\{PE=PC}\end{array}\right.$,
∴△HPE≌△CBP,
∴BC=PH=AB,HE=PB,
∴PB=AH=EH,
∴∠HAE=45°,
∴∠EAD=45°.

(2)证明:作EK∥AB交BD于K.

∵∠EAD=∠ABD=45°,
∴AE∥BK,∵AB∥EK,
∴四边形ABKE是平行四边形,
∴EK=AB=CD,AE=BK,
∵AB∥CD,∴EK∥CD,
∴∠GEK=∠GCD,
∴△GEK≌△GCD,
∴GD=GK,
∵BD=$\sqrt{2}$CD,BD=BK+DK=AE+2DG,
∴AE+2DG=$\sqrt{2}$CD.

(3)解:由(1)可知AE=4$\sqrt{2}$,由(2)可知4$\sqrt{2}$+2DG=10$\sqrt{2}$,
∴DG=3$\sqrt{2}$,
∵BD=10$\sqrt{2}$,
∴BG=7$\sqrt{2}$.

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

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