Question

12．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧$\widehat{AC}$的长度为$\frac{4π}{5}$．

Answer 1

分析 连接OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．

解答 解：连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E=∠D=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=（5-2）×180°-90°-108°-108°-90°=144°，
∴$\widehat{AC}$的长为$\frac{144×π×1}{180}$=$\frac{4π}{5}$．
故答案为$\frac{4π}{5}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键．