Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（3，5），以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；
（4）当点P位于何处时，△APB的周长有最小值，并求出△APB的周长的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设D点的坐标为（x，y），过A点作x的平行线l，过B点作BE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，根据点A（0，1）和B（3，5）可以求出AE、BE的长，然后再证明Rt△AEB≌Rt△DFA，求出AF和DF的长，进而求出D点的坐标．
（2）设抛物线解析式为y=ax²，把D点坐标代入求出a的值，进而求出抛物线解析式；
（3）设P点坐标为（x，

1

4

x²），分别求出P点到A点的距离和到x轴的距离，求出两距离之差即可；
（4）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE⊥直线m交于点E，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，首先证明P′A=P′E，然后P′坐标，进而求出△APB的周长有最小值．

解答：解：（1）设D点的坐标为（x，y），过A点作x的平行线l，过B点作BE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，
∵B点坐标为（3，5）、A点坐标为（0，1），
∴AE=3，BE=4，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，
在Rt△AEB和Rt△DFA中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF

，
∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，
∴AF=BE=4，DF=AE=3，
∴D点的坐标为（-4，4）；
D（-4，4）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²，抛物线经过点D坐标（-4，4），
即4=16a，解得a=

1

4

，
因此，所求抛物线解析式为y=

1

4

x²；

（3）设P点坐标为（x，

1

4

x²），A点坐标为（0，1），
|PA|=

x2+( 1 4 x2-1)2

=

1

4

x²+1，点P到x轴的距离d=

1

4

x²
点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差=|PA|-d=

1

4

x²+1-

1

4

x²=1；

（4）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE⊥直线m交于点E，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，
∵A点坐标为（0，1），
∴A′点坐标为（0，-1），
首先证明P′A=P′E，
设P′点坐标为（x，y），
|P′A|=

x2+(y-1)2

=

4y+(y-1)2

=|y+1|，|P′E|=|y+1|，
于是证明出P′A=P′E，
而点P'在抛物线上，且其横坐标为3，
∴点P'坐标为（3，

9

4

）；由于两点之间线段最短，那么此时△APB的周长最短；
因此，当点P为（3，

9

4

）时，△APB的周长值最小，且为L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，涉及到抛物线的性质，两点间距离的求法，此题难度较大，特别是（4）问，需要同学们很强的解答二次函数试题的综合能力．