Question

如图，已知直线l经过点D（-1，4），与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且直角△AOB的内切圆的面积为π，求直线l对应的一次函数的表达式．

Answer 1

分析：要求直线l对应的一次函数的表达式，由直线l经过点D（-1，4），根据待定系数法，只需求出此直线上另外一点F的坐标即可．设直角△AOB的内切圆⊙M与OA、OB、AB分别切于点G、E、F．先由直角△AOB的内切圆的面积为π，得出其内切圆面积为1，易证四边形OGME是正方形，得出点G的坐标为（-1，0）．再延长GM交AB于N，证明点N与点D重合．然后过点F作FP⊥OB于P，交GN于H．分别解RT△MNF和RT△HNF，求出点F的坐标．

解答：解：设直角△AOB的内切圆⊙M与OA、OB、AB分别切于点G、E、F，则∠MGO=∠MFB=∠OEM=90°．
∵⊙M的面积为π，
∴π×ME²=π，
∴ME=1．
∵∠MGO=∠GOE=∠OEM=90°，MG=ME，
∴四边形OGME是正方形，
∴OG=1，点G的坐标为（-1，0）．
延长GM交AB于N，则NG⊥OA，
∴N点横坐标与G点横坐标相同，是-1，
又∵直线AB经过点D（-1，4），
∴点N与点D重合．
∴MN=NG-MG=4-1=3．
在RT△MNF中，MN=3，MF=1，
由勾股定理，可知FN=2

2

．
∴sin∠FNM=

1

3

，tan∠FNM=

1

2 2

=

2

4

．
过点F作FP⊥OB于P，交GN于H，则FP=FH+HP=FH+ME=FH+1，HG=HM+MG=HM+1．
在Rt△HNF中，∠FHN=90°，FN=2

2

，sin∠FNH=

1

3

，
∴FH=FN•sin∠FNH=

2 2

3

，
∴FP=

2 2

3

+1=

2 2 +3

3

；
在RT△MHF中，∠FHN=90°，FH=

2 2

3

，tan∠MFH=tan∠FNM=

2

4

，
∴HM=FH•tan∠MFH=

2 2

3

×

2

4

=

1

3

，
∴HG=

1

3

+1=

4

3

，
∴点F的坐标为（-

2 2 +3

3

，

4

3

）．
设直线l的解析式为y=kx+b．
∵直线l经过点D（-1，4），点F（-

2 2 +3

3

，

4

3

），
∴

-k+b=4 - 2 2 +3 3 k+b= 4 3

，
解得

k=2 2 b=4+2 2

．
故所求直线l的解析式为y=2

2

x+4+2

2

．

点评：本题主要考查了直角三角形内切圆半径的求法，切线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形及运用待定系数法求一次函数的解析式，综合性较强，有一定难度．