【答案】
分析：（1）根据抛物线的顶点式解析式可得出P的坐标为（2，-1）．
（2）如果△APB是等腰直角三角形，那么根据P的纵坐标不难得出AB=2，根据对称轴x=2可得出A，B的坐标分别为（1，0）（3，0）．然后可根据A，B的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．也就能得出a的值和C点的坐标．
求D点坐标时，可根据∠ABP=45°，即三角形OBD是等腰直角三角形来解．此时OB=OD，B点的横坐标的绝对值就是D点的纵坐标的绝对值，由此可得出D的坐标．
（3）当旋转后A在C′D′上时，E点和O重合此时b=0；当旋转后A在B′D′上时，此时可求得OE=1，即b=-1．因此可分三种情况进行讨论：
①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是个三角形，如果设C′D′与AC交于M，那么重叠部分就是△CEM的面积．可先求出EM的长，然后再根据三角形的面积公式得出S，b的函数关系式．
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是五边形，由于五边形不是规则的图形，因此可先根据AC，D′B′，AD的直线的解析式求出旋转后得出的三角形与ACD的各边的交点的坐标，然后根据其他规则图形的面积的“和，差”关系来求出五边形的面积，即可得出S，b的函数关系式．
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为四边形，可仿照②的解法求出此时S，b的函数关系式．
综上所述可得出b的不同取值范围内，S，b的函数关系式，然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值．
解答：解：（1）P（2，-1）
（2）因为△APB为等腰直角三角形，P点坐标为（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
将A点坐标代入二次函数y=a（x-2）
2-1得：
0=a（1-2）
2-1，
所以a=1
所以二次函数为：y=x
2-4x+3
所以C（0，3），
所以OC=OB，∠OBC=45°
又因为∠ABP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD为等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；
（3）①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为△CEM．
因为CE=C’E，
所以C点恰好在直线B′C′上，
CE=3-b，AC直线方程为：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=
所以重叠部分△CEM的面积为：
S=
×（3-b）×
=
（0≤b＜3）；
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为五边形EMANQ，
因为ED=ED′=EQ，
所以D’点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直线方程为：y=3-3x，
AD直线方程为：y=3x-3，
D’Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=
，N（-b，3+3b）
所以重叠部分五边形EMANQ的面积为：
S=S
△ACD-S
△CQN-S
△EMD=
×6×1-
×（-2b）×（-b）-
×（3+b）×
=
（-1＜b＜0）；
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为四边形EMNQ；
因为ED=ED’=EQ，
所以D′点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直线方程为：y=3x-3，
D′Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=
，N（
，
），
所以重叠部分四边形EMNQ的面积为：
S=S
△DNQ-S
△EMD=
-
=
（-3＜b≤1），
所以重叠部分的面积为：
，
当0≤b＜3时，b=0时，S最大，且S最大=
，
当-1＜b＜0时，S=
=-
，
b=-
时，S最大，且S最大=
，
当-3＜b≤-1时，b=-1时，S最大，且S最大=
，
综上所述：当b=-
时，S最大=
．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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BE．