Question

5．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．
①连结OE，求△OBE的面积．
②求扇形AOE的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用菱形的判定方法得出答案；
（2）①首先求出△ABD的面积进而得出S_△OBE=$\frac{1}{4}$S_△ABD；
②首先求出扇形AOE的圆心角，进而利用扇形面积求出答案．

解答 （1）证明：∵AE=EC，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB为直径，且过点E，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：①连结OF，
∵DC的延长线于半圆相切于点F，
∴OF⊥CF，
∵FC∥AB，
∴OF即为△ABD中AB边上的高，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×OF=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
∵点O是AB中点，点E是BD的中点，
∴S_△OBE=$\frac{1}{4}$S_△ABD=4；

②过点D作DH⊥AB于点H，
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°，
∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，
∵在Rt△DAH中，sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DAH=30°，
∵D点O，E分别为AB，BD中点，
∴OE∥AD，
∴∠EOB=∠DAH=30°，
∴∠AOE=180°-∠EOB=150°，
∴S_扇形AOE=$\frac{150π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{20}{3}$π．

点评 此题主要考查了圆的综合以及菱形、矩形的判定方法、扇形面积求法等知识，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键．