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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
    （1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；
    （2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；
    （3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．
    ②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．
    分析：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB=
    		2
    ，t=AB-BC=
    		2
    -1；
    （2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可；
    （3）根据题意可直接得出b=1-
    		2
    t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1-
    		2
    ），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意．
    解答：解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，
    又AB=
    		2
    ，
    所以t=AB-BC=
    		2
    -1；

    （2）OC=CP．
    证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．
    ∵PC⊥OC，
    ∴∠OCP=90°，
    ∵OA=OB=1，
    ∴∠OBA=45°，
    ∵TH∥OB，
    ∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
    ∴△CHB为等腰直角三角形，
    ∴CH=BH，
    ∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
    ∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，精英家教网
    ∴OT=CH，
    ∵∠TCO+∠PCH=90°，
    ∠CPH+∠PCH=90°，
    ∴∠TCO=∠CPH，
    ∵HB⊥x轴，TH∥OB，
    ∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
    ∴△OTC≌△CHP，
    ∴OC=CP；

    （3）①∵△OTC≌△CHP，
    ∴CT=PH，
    ∴PH=CT=AT=AC•cos45°=
    		2
    2
    t，
    ∴BH=OT=OA-AT=1-
    		2
    2
    t，
    ∴BP=BH-PH=1-
    		2
    t，
    ∴b=1-
    		2
    t    ；（0＜t＜
    		2
    ）
    ②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，
    PB=BC，则
    		2
    -t=|1-
    		2
    t|，
    解得t=1或t=-1（舍去），
    ∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，
    即P点坐标为：P（1，1-
    		2
    ）．
    点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数的性质和点的意义表示出相应的线段的长度，再结合三角形全等和等腰三角形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
    练习册系列答案
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    已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（精英家教网x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
    （1）求点C、D及点M的坐标；
    （2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
    （3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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    精英家教网如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为
    		5
    ，AB=4．若函数y=
    k
    x
    （x＜0）的图象过C点，则k的值是（　　）
    A、±4
    B、-4
    C、-2
    		5
    D、4

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    如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C精英家教网的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为
    		5
    ，AB=4．
    （1）求点B，P，C的坐标；
    （2）求证：CD是⊙P的切线；
    （3）若二次函数y=-x2+（a+1）x+6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y=2x+b值的x的取值范围．

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    （1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；
    （2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （1）证明：无论半径r取何值时，点P都在某一个正比例函数的图象上．
    （2）已知两点M（0，-1）、N（1、0），且射线MN与抛物线y=ax2+bx+c有两个不同的交点，请确定r的取值范围．
    （3）请简要描述符合本题所有条件的抛物线的特征．

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