Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2

3

，直线y=

3

x-2

3

经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C（

 

），D（

 

）；
（2）求顶点在直线y=

3

x-2

3

上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=

3

x-2

3

向上平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．求出当EF=EG时抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质及已知条件可知点C纵坐标为2

3

，将y=2

3

代入y=

3

x-2

3

，求出x=4，得到顶点C的坐标为（4，2

3

），再根据DC=3即可求出点D的坐标；
（2）由抛物线经过点C（4，2

3

）、D（1，2

3

），根据二次函数的对称性得出其对称轴为x=

5

2

，将x=

5

2

代入y=

3

x-2

3

，求出y=

3

2

，得到顶点坐标为（

5

2

，

3

2

），再设抛物线解析式为y=a（x-

5

2

）²+

3

2

，把D点坐标代入，得a（1-

5

2

）²+

3

2

=2

3

，求出a=

2 3

3

，进而得到抛物线的解析式；
（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，

3

m-2

3

）（m＞0），由此可设解析式为y=

2 3

3

（x-m）²+

3

m-2

3

，根据等腰三角形三线合一的性质及两点间的距离公式可知当EF=EG时，FG=2

3

m，则F点坐标为（0，2

3

m-2

3

），再代入解析式，得

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，解方程求出m的值即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD的边AB在x轴上，且BC=2

3

，
∴点C的纵坐标为2

3

．
将y=2

3

代入y=

3

x-2

3

，
得

3

x-2

3

=2

3

，解得x=4，
∴点C的坐标为（4，2

3

）．
∵矩形ABCD中，DC=AB=3，
∴点D的坐标为（4-3，2

3

），即（1，2

3

）；
故答案为4，2

3

；1，2

3

．

（2）∵抛物线经过点C（4，2

3

）、D（1，2

3

），
∴对称轴为x=

4+1

2

=

5

2

，
将x=

5

2

代入y=

3

x-2

3

，得y=

3

×

5

2

-2

3

=

3

2

，
∴顶点坐标为（

5

2

，

3

2

），
∴设抛物线解析式为y=a（x-

5

2

）²+

3

2

，
把D（1，2

3

）代入，得a（1-

5

2

）²+

3

2

=2

3

，
解得a=

2 3

3

，
∴顶点在直线y=

3

x-2

3

上且经过点C、D的抛物线的解析式为y=

2 3

3

（x-

5

2

）²+

3

2

；

（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，

3

m-2

3

）（m＞0），
∴可设解析式为y=

2 3

3

（x-m）²+

3

m-2

3

，
当EF=EG时，FG=2

3

m，则F（0，2

3

m-2

3

），
代入解析式，得

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，
解得m=0（舍去），m=

3

2

，
故所求解析式为y=

2 3

3

（x-

3

2

）²-

3

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标公式，二次函数的对称性，等腰三角形的性质和图象平移的规律．综合性较强，有一定难度．