Question

8．如图，CQ和BP是△ABC的角平分线，且BQ=CP，求证：AB=AC．

Answer 1

分析 过点A作AD∥BC交BP的延长线于D，求出△APD和△CPB相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AD}{BC}$，再求出AD=AB，从而得到$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，同理可得$\frac{AQ}{QB}$=$\frac{AC}{BC}$，然后求出$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AC}{AB}$，再求出△ABP和△ACQ相似，根据相似三角形对应角相等求出∠ABP=∠ACQ，根据角平分线的定义求出∠ABC=∠ACB，然后根据等角对等边证明即可．

解答 证明：如图，过点A作AF∥BC交BD的延长线于F，
所以，△APD∽△CPB，
所以，$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AD}{BC}$，
∵BP是△ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBP，
∴∠ABP=∠D，
∴AD=AB，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
同理可得$\frac{AQ}{QB}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵BQ=CP，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AC}{AB}$，
又∵∠CAQ=∠BAP，
∴△ABP∽△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
∵CQ和BP是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACB=2∠ACQ，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．