Question

5．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a+b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；④abc＞0．⑤b²-4ac＜0
其中正确的结论是①③④．（只填序号）

Answer 1

分析 ①正确．根据对称轴x=1即可解决问题．
②错误．∴x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．
③正确．由A点坐标为（-1，0），推出a-b+c=0，而b=-2a，推出a+2a+c=0，即c=-3a．
④正确．由抛物线开口向上，推出a＞0；由对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＞0，推出b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方，推出c＜0，由此即可判断．
⑤错误．因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0．

解答 解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则-$\frac{b}{2a}$=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，所以②错误；
∵A点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，所以③正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，则abc＞0，所以④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，所以⑤错误．
故①③④正确，
故答案为①③④．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．