Question

15．如图，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），求出s与t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 分0≤t≤$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$＜t≤1、1＜t≤$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$＜t≤2四种情况，根据三角形的面积公式和割补法列出重叠部分面积可得．

解答 解：∵边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S，
∴S关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前是空白部分面积逐渐增大，
当0≤t≤$\frac{1}{2}$时，S=$\frac{1}{2}$×t×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
当$\frac{1}{2}$＜t≤1时，S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×（1-t）×$\sqrt{3}$（1-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×（t-1）×$\sqrt{3}$（t-1）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，S=$\frac{1}{2}$（2-t）×$\sqrt{3}$（2-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-2$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到面积变化的拐点是解题的解题的关键．