Question

20．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：
①FH=2BH；②AC⊥FH；③S_△ACF=1；④CE=$\frac{1}{2}$AF；⑤EG²=FG•DG，
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；
③可以直接求出FC的长，计算S_△ACF≠1，错误；
④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$AF；
⑤利用相似先得出EG²=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．

解答 解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD=∠CAF=22.5°，
∵BH=DF，
∴△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠FAD=22.5°，
∴∠HAC=∠FAC，
∴HM=FM，AC⊥FH，
∵AE平分∠DAC，
∴DF=FM，
∴FH=2DF=2BH，
故选项①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，
∴△FMC是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，MC=DF=2$\sqrt{2}$-2，
∴FC=2-DF=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
S_△AFC=$\frac{1}{2}$CF•AD≠1，
所以选项③不正确；
④AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}-2）^{2}}$=2$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$，
∵△ADF∽△CEF，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{2}{CE}=\frac{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{4-2\sqrt{2}}$，
∴CE=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$AF，
故选项④正确；
⑤延长CE和AD交于N，如图2，
∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，
∴CE=EN，
∵EG∥DN，
∴CG=DG，
在Rt△FEC中，EG⊥FC，
∴EG²=FG•CG，
∴EG²=FG•DG，
故选项⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故选C．

点评 本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．