Question

17．已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB，CD分别过⊙O上的点E，F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
（3）若⊙O的半径为3，BC=2$\sqrt{3}$，求图中四边形ABCD被⊙O割后余下图形（阴影部分）的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用全等三角形的判定定理得△AOD≌△COB，由全等三角形的性质可得OB=OD，又OA=OC，由平行四边形的判定定理可得结论；
（2）利用平行线的性质可得CF∥AE；由平行线的性质可得∠ACF=∠CAE，由圆周角定理易得∠AFC=∠CEA=90°，易得△ACF≌△CEA；由全等三角形的性质可得AE=CF，易得结论；
（3）首先求得∠BAC和∠COE的度数，利用扇形的面积公式求得扇形OEC的面积，阴影部分的面积为2倍的三角形ABC的面积减去扇形OCE的面积再减去三角形AOE的面积．

解答 解：（1）证明：
∵AC为⊙O的直径，
∴OA=OC；
∵BC，AD分别是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OAD=90°；
∵∠AOD=∠COB，
在△AOD与△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCB=∠OAD}\\{OC=OA}\\{∠COB=∠AOD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB；
∴OB=OD；
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴CF∥AE；
∴∠ACF=∠CAE；
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AFC=∠CEA=90°；
在△ACF与△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠CAE}\\{∠AFC=CEA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CEA；
∴AE=CF；
∴四边形AECF是平行四边形；
∴四边形AECF是矩形．

（3）连接EO，
∵⊙O的半径为3，
∴AC=6，
∵BC=$2\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°；
∴∠COE=60°；
所以扇形OEC的面积=$\frac{60}{360}π×{3}^{2}$=$\frac{3}{2}π$
所以S_阴影=2（S_△ABC-$\frac{3}{2}π$-S_△AOE）=2（$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}-\frac{3}{2}π$-$\frac{1}{2}×3×3×sin120°$）=$\frac{15}{2}$$\sqrt{3}$-3π．

点评 本题主要考查了切线的性质，矩形和平行四边形的判定定理，熟练掌握矩形和平行四边形的判定定理是解答此题的关键．