Question

【题目】如图，以的一边为直径的交于点，点是弧的中点，连接并延长交于点．

（1）求证：；

（2）①若，当弧的长度是______时，四边形是菱形；

②在①的情况下，当______时，是的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②2

【解析】

（1）连接，根据点E是弧BD的中点得到∠FAE=∠BAE，由AB是直径可得∠AEB=∠AEF=90°，再根据ASA证明即可得到结论；

（2）①根据菱形的性质得到∠BOE=∠EOD=∠DOA=60°，再运用弧长公式即可求出弧AD的长；

②由①得∠A=60°可求出∠C=30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，再根据CF=AC-AF求解即可．

（1）连接AE，如图所示，

∵点E是弧BD的中点，

∴弧BE=弧DE

∴∠FAE=∠BAE，

∵AB是圆O的直径，

∴∠AEB=∠AEF=90°

在△AEF和△AEB中，

∴△AEF≌△AEB

∴AF=AB

（2）①假设四边形FDOE是菱形，则有

，

，

，

∴弧AD的长为：；

故弧AD的长度是时，四边形FDOE是菱形；

②若CB是的切线，则有∠ABC=90°，

由①知∠A=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AB=2，

∴AC=2AB=4

又AF=AB=2

∴CF=AC-AF=4-2=2，

∴当CF=2时，BC是圆O的切线．