Question

12．如图，已知双曲线C₁：y=$\frac{1}{x}$、抛物线C₂：y=x²-12，直线l：y=kx+m．
（Ⅰ）若直线l与抛物线C₂有公共点，求$\frac{k^2}{4}$+m的最小值；
（Ⅱ）设直线l与双曲线C₁的两个交点为A、B，与抛物线C₂的两个交点为C、D．是否存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点？若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直线l与抛物线C₂有公共点，可得x²-kx-m-12=0，根据根的判别式即可得到$\frac{k^2}{4}$+m的最小值；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），显然k≠0联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$，得kx²+mx-1=0；联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$，得x²-kx-m-12=0；根据根与系数的关系，A、B为线段CD的三等分点，得到${k^2}+4m+48=9•\frac{{{m^2}+4k}}{k^2}$，解方程得到k的值，进一步得到m的值，从而得到直线l的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l与抛物线C₂有公共点，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$，得x²-kx-m-12=0，
∴△=k²+4m+48≥0，
∴$\frac{k^2}{4}+m≥-12$，
∴$\frac{k^2}{4}+m$的最小值为-12；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），显然k≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$，得kx²+mx-1=0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{k}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$，得x²-kx-m-12=0，
则x₃+x₄=k，x₃x₄=-m-12，
若A、B为线段CD的三等分点，则线段AB与CD的中点重合，且|CD|=3|AB|，
则$-\frac{m}{k}=k$，即m=-k²，
且|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|，即${k^2}+4m+48=9•\frac{{{m^2}+4k}}{k^2}$，
将m=-k²代入上式并化简得k³-4k+3=0，
解得k=1或$\frac{{-1±\sqrt{13}}}{2}$，对应的m=-1或$\frac{{-7±\sqrt{13}}}{2}$，经检验均符合题意．
故直线l的解析式为y=x-1或$y=\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}x+\frac{{-7+\sqrt{13}}}{2}$或$y=\frac{{-1-\sqrt{13}}}{2}x+\frac{{-7-\sqrt{13}}}{2}$．

点评 考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，三等分点的定义等知识点，同时注意方程思想的运用，综合性较强，难度中等．