Question

已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于（x₁，0），（x₂，0），且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，交y轴于（0，-2），则在①2a+b＞1，②3a+b＞0，③a+b＜2，④a＜-1中正确的有

 

．（填序号）

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：首先根据抛物线的开口方向判断出a的符号，再根据与y轴交点求出c=-2，
①将x=2代入原方程，可知此时y＜0，再根据c=-2即可求出2a+b＜1；
②根据0＜x₁＜1，1＜x₂＜2判断出1＜x₁+x₂＜3，再根据x₁+x₂=-

b

a

，判断出1＜-

b

a

＜3，可知3a+b＜0；
③将x=1代入y=a+b+c＞0，结合c=-2，可知a+b＞-c，即得a+b＞2；
④根据0＜x₁x₂＜2和x₁x₂=

c

a

＜2，求出c=-2，可判断a＜-1．

解答：解：如图：
0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，并且图象与y轴相交于点（0，-2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=-2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故本选项错误；
②∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜x₁+x₂＜3，
又∵x₁+x₂=-

b

a

，
∴1＜-

b

a

＜3，
∴3a+b＜0，
故本选项错误；
③当x=1时，y=a+b+c＞0，
∵c=-2，
∴a+b＞-c，
即a+b＞2，
故本选项错误；
④∵0＜x₁x₂＜2，x₁x₂=

c

a

＜2，
又∵c=-2，
∴a＜-1．
故本选项正确．
故答案为：④．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．