Question

14．已知抛物线m的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使得以点P、C、B、D为顶点构成的四边形是菱形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．
（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；
②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\-\frac{b}{2a}=1\\ c=1.\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=1.\end{array}\right.$
∴抛物线对应的函数的解析式为y=x²-2x+1．                                          
（2）①如图1：

将y=x²-2x+1向下平移m个单位得：y=x²-2x+1-m=（x-1）²-m，
可知A（1，-m），B（1-$\sqrt{m}$，0），C（1+$\sqrt{m}$，0），BC=2$\sqrt{m}$．
过点A作AH⊥BC于H，
∵由△ABC为等边三角形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，∠CAH=30°，
∴AH=$\frac{HC}{tan∠CAH}$，即$\frac{\sqrt{m}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=m$，
由m＞0，
解得：m=3．
②在抛物线上存在点P，能使四边形CBDP为菱形．理由如下：
∵点D与点A关于x轴对称，
∴D（1，3），
情况一：如图2，

当DP为对角线时，显然点P在点A位置上时，符合题意，
故此时点P坐标为（1，-3）；
情况二：当DP为边时要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC，如图3，

由点D的坐标为（1，3），DP=BC=2$\sqrt{3}$，可知点P的横坐标为1+2$\sqrt{3}$，
当x=1+2$\sqrt{3}$时，y=x²-2x+1-m=x²-2x-2=9≠3，
故不存在这样的点P．
综上可得，存在使四边形CBDP为菱形的点P，坐标为（1，-3）．

点评 此题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律．