Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
（1）请写出四个不同类型的正确结论；
（2）连接CD，设∠CDB=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，本题满足垂径定理．
（2）根据四边形ACDB为圆内接四边形，可以得到α-β=90°，再根据∠CDO=∠ODB=∠CDB得到α＞2β．
解答：解：（1）不同类型的正确结论有：
①BE=CE；
②BD=CD；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE²+BE²=OB²；
⑧S_△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC；等等．
（说明：1．每写对一条给（1分），但最多只给（4分）；
（结论与辅助线有关且正确的，也相应给分）．

（2）α与β的关系式主要有如下两种形式，请参照评分：
①答：α与β之间的关系式为：α-β=90°（5分）
证明：∵AB为圆O的直径
∴∠A+∠ABC=90°①（6分）
又∵四边形ACDB为圆内接四边形
∴∠A+∠CDB=180°②（7分）
∴②-①得：∠CDB-∠ABC=90°
即α-β=90°（8分）
（说明：关系式写成α=90°+β或β=α-90°的均参照给分．）
②答：α与β之间的关系式为：α＞2β（5分）
证明：∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD
∴∠ODB＞∠ABC（6分）
∵OD⊥BC，
∴CD=BD
∴∠CDO=∠ODB=∠CDB（7分）
∴∠CDB＞∠ABC
即α＞2β．（8分）
（说明：若得出α与β的关系式为α＞β，且证明正确的也给满分．）
点评：本题考查了圆的一些基本性质，且有一定的开放性，第（1）小题只需根据已知的结论进行简单的推理即可得出不少不同类型的结论；第（2）题还考查了学生的方程思想，运用代数知识解几何问题．