Question

如图，已知圆O的弦AB、CD的延长线相交于点P，连接弧AB、弧CD的中点E、F分别交AB、CD于点M、N，求证：△PNM是等腰三角形．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：根据圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理得出∠EBA和∠FEB的度数和等于

AE

、

DF

、

BD

度数和的一半，∠CDF和∠EFD的度数和等于

CF

、

BE

、

BD

度数和的一半，求出∠EBA+∠FEB=∠CDF+∠EFD，根据三角形的外角性质得出∠PMN=∠PNM，根据等腰三角形的判定推出即可．

解答：证明：
连接BE和DF，
∵弧AB、弧CD的中点分别是E、F，
∴

AE

=

BE

，

CF

=

DF

，
∵∠EBA和∠FEB的度数和等于

AE

、

DF

、

BD

度数和的一半，
∠CDF和∠EFD的度数和等于

CF

、

BE

、

BD

度数和的一半，
∴∠EBA+∠FEB=∠CDF+∠EFD，
∵∠PMN=∠EBA+∠FEB，∠PNM=∠CDF+∠EFD，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
即△PMN是等腰三角形．

点评：本题考查了圆心角、弧弦之间的关系，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，圆周角定理的应用，能推出∠PMN=∠PNM是解此题的关键，难度适中．