Question

3．将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是$\frac{40}{9}$或5．

Answer 1

分析 设BF=x，利用折叠的性质得BF=B′F=x，则FC=10-x，由于∠FCB′=∠BCA，利用相似三角形的判定方法，当$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CB′}{CA}$=$\frac{FB′}{AB}$时，△CFB′∽△CBA或$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CB′}{CB}$=$\frac{FB′}{AB}$时，△CFB′∽△CAB，
然后利用相似比分别得到关于x的方程，再分别解方程求出x即可．

解答 解：设BF=x，
∵△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折叠痕为EF，
∴BF=B′F=x，
∴FC=BC-BF=10-x，
∵∠FCB′=∠BCA，
∴当$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CB′}{CA}$=$\frac{FB′}{AB}$时，△CFB′∽△CBA，
即$\frac{10-x}{10}$=$\frac{x}{8}$，即得x=$\frac{40}{9}$；
当$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CB′}{CB}$=$\frac{FB′}{AB}$时，△CFB′∽△CAB，
即$\frac{10-x}{8}$=$\frac{x}{8}$，即得x=5，
综上所述，当BF=$\frac{40}{9}$或5时，以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为$\frac{40}{9}$或5．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了折叠的性质．