Question

10．如图，已知△ABC内接于以点O为同心圆的大圆⊙O，且AB=AC，腰AB切小圆⊙O于点D．P是$\widehat{BC}$上的动点（不与点B、C重合），AP交BC于点M．
（1）求证：AC是小圆⊙O的切线．
（2）点P是否存在一个位置，使得PB是PM、PA的比例中项？若存在，请指出这个点，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作OE⊥AC于E，证明OD=OE即可；
（2）先证得△PBM∽△PAB，得出∠PBA=∠BMP，进而证得∠PAB=∠PAC，从而证得P是$\widehat{BC}$的中点．

解答 （1）证明：连接OD，作OE⊥AC于E，连接OB，OC，如图所示，
∵AB切小圆O于点D，
∴OD⊥AB，
∴D为AB的中点，
∵OE⊥AC，
∴E为AC的中点，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在Rt△OBD或RT△OCE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{OB=OC}\end{array}\right.$
∴Rt△OBD≌RT△OCE（HL），
∴OE=OD，
∴AC是小圆O的切线．
（2）存在，
理由：∵PB是PM、PA的比例中项，
∴$\frac{PM}{PB}$=$\frac{PB}{PA}$，
∵∠BPM=∠APB，
∴△PBM∽△PAB，
∴∠PBA=∠BMP，
∴∠PBM+∠ABM=∠PAB+∠ABM，
∴∠PBM=∠PAB，
∵∠PBC=∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴$\widehat{PB}$=$\widehat{PC}$，
∴当P是$\widehat{BC}$的中点时，使得PB是PM、PA的比例中项．

点评 此题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．若不知道直线与圆是否有公共点，则证明圆心到直线的距离等于圆的半径．因此需过圆心作直线的垂线．